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談了許多觀念，很多人可能還是不知道『期望值』該怎麼算，
紛紛要求希望能用臺指期貨做個例子。
為了讓大家更容易理解一點，我們就來看看，
期望值是怎麼計算出來的。
期望值的定義是：
期望值 = Σ（結果 × 機率）
因此，如果想要計算出，『選擇權策略』的期望值，就需要兩個東西。
1. 選擇權策略的『結果』函數
2. 相對應結果的『機率』函數
選擇權策略『結果』函數，其實很簡單。
以選擇權到了結算日那天，所得到的結果來說，
買進call就是長這樣 _/ ,
買進put 就是長這樣 \_ ，
賣方的話，正好反過來。
總而言之，也就是大家常常看到的，選擇權策略的損益圖啦。
這個損益圖形上，橫軸是最後結算時，標的物所有的可能結果。
縱軸則是每個標的物結果，對應的選擇權損益結果。
簡單地說，也就是選擇權到期時，『所有』可能的結果。
任何一個選擇權交易，只要確定了下面幾個參數（建立部位時就確定了），
1. 履約價格（K）
2. 距離到期時間（t）
3. 交易的權利金（P）
那麼這個選擇權到期之後，所有可能的結果，就可以完全被結果函數表示出來了。
至於結果的『機率』函數，用到的是常態機率分布函數。
常態機率分布函數，有兩個參數，
一個是分布的中心值（也就是需要預測的標的物未來價格），
另一個是分布的標準差（也就是標的物價格的波動率）。
以臺指舉例來說，
由於臺指『期貨』表示的是，『市場』對於到期日那天，指數最後會落在那裏的『預期』。
因此，我們可以姑且將臺指期貨（S），拿來當作未來預測分布的中心值。
再者，由於每個選擇權都有隱含波動率，而它同樣代表了『市場』對於未來市場波動率的『預期』。
所以我們在這裏，使用了隱含波動率，來作為我們對未來波動率的預測。
其實該使用什麼值，來作為預測中心的分布值，
或者是波動率該取用那個值，
都是見仁見智，純粹屬於個人喜好的問題。
甚至要不要使用常態分布函數，來作為機率的表示方式，這也是可以因人而異的。
因此，我們在這裏，必須再次說明一下，
為了計算期望值，我們做了以下的假設：
1. 以常態機率分布函數，用來表示標的物未來價格可能的機率分布。
2. 以相應標的物『期貨』的價格，作為標的物未來價格的機率分布的中心值。
3. 以價平選擇權的隱含波動率，作為標的物未來價格機率分布的波動率（σ，也就是標準差）。
有了預測的（假設的）『中心值』（S）與『波動率』（σ）這兩個參數，就可以得到機率函數了。
下面我們利用『函數』的形式，
將選擇權的『結果』與『機率』，分別表示出來。
1. 策略『結果』函數
x <= K 時， x > K 時， 損益圖形示意圖
==================================================
買進call R = -P， x-(K+P)， _/
賣出call R = P， -x+(K+P)， ``\
買進put R = -x+(K-P)， -P， \_
賣出put R = x-(K-P)， P， /``
其中，
K: 履約價格
P: 權利金
x: 變數，橫座標軸，表示選擇權標的物所有可能的最後（結算）價格
R: 結果，縱座標軸，表示選擇權標的物所有可能的最後（結算）價格，所對應的損益結果
2. 結果『機率』函數
先將變數 x 轉換為 z，
z = ln(x/S) / [σ*sqrt(t)]
就可以求出常態機率分布函數：
g(z) = 1/sqrt(2Pi)*exp(-z*z/2) = NORMDIST(z) = N'(z)
（注意：這與後面提到的 N() ，存在著微分的關係）
而想要求出某個區間 z1 ~ z2 之間的機率時，可以用到常態累積分布函數：
N(z) = ∫g(z)dz = NORMSDIST(z)
（注意：這與前面提到的 N'() ，存在著積分的關係）
而某個區間 z1 ~ z2 之間的機率，則可以表示為：
N(z2) - N(z1)
其中，
S: 標的物目前價格（分布的中心價格）
σ: 波動率（分布的標準差）
t: 距離到期的時間（以年為單位， = 天數/365 ）
x: 變數，橫座標軸，表示選擇權標的物所有可能的最後（結算）價格
z: 為了計算方便，將變數 x 轉換為變數 z, 可以使 g(z) 的公式用起來比較簡潔。這個轉換稱為 z 轉換。
有了上面的兩個函數，我們就可以將『所有』的結果與機率，一一算出來，
個別的結果與機率相乘之後，再全部加起來，就可以得到期望值。
可是，這麼做的話，雖然是土法煉鋼，一定可以得到結果，
但是未免也太過愚公移山，耗時費力了。
因此，我們可以經過數學的推導，（參考原書第六章前段說明），
就能直接得到『期望值』函數的公式：
E(R) = ∫R(z)*g(z) dz
買進call = -P[N(zK)] +{S*exp(c*c/2)*[1-N(zK-c)]}-(K+P)[1-N(zK)]
賣出call = P[N(zK)] - {S*exp(c*c/2)*[1-N(zK-c)]}+(K+P)[1-N(zK)]
買進put = -[S*exp(c*c/2)*N(zK-c)]+(K-P)[N(zK)] - P[1-N(zK)]
賣出put = [S*exp(c*c/2)*N(zK-c)]-(K-P)[N(zK)] + P[1-N(zK)]
上面的公式，計算的範圍是從負無限大到正無限大。
在書中，計算的範圍則是從 -4 標準差計算到 +4 標準差的範圍，
所以公式修改如下：
E(R) = ∫R(z)*g(z) dz
買進call = -P[N(zK)-N(-4)]
+ {S*exp(c*c/2)*[N(4-c)-N(zK-c)]}-(K+P)[N(4)-N(zK)]
賣出call = P[N(zK)-N(-4)]
- {S*exp(c*c/2)*[N(4-c)-N(zK-c)]}+(K+P)[N(4)-N(zK)]
買進put = -{S*exp(c*c/2)*[N(zK-c)-N(-4-c)]}+(K-P)[N(zK)-N(-4)]
- P[N(4)-N(zK)]
賣出put = {S*exp(c*c/2)*[N(zK-c)-N(-4-c)]}-(K-P)[N(zK)-N(-4)]
+ P[N(4)-N(zK)]
其中，
R(z): 由於積分的需要，將 R 中的 x, 進行 z 轉換，使得本來用 x 來表示的 R(x)，轉換成用 z 來表示的函數 R(z)
zK = ln(K/S) / [σ*sqrt(t)] ，（也就是將 K 代入 x 的位置，所得到的 z 值）
c = σ*sqrt(t)
由上面的公式，便可以計算出選擇權的『期望值』，也就是 E(R) 的值了。
舉例來說，
2008 年 6 月 4 日，臺指期貨與選擇權價格的資料如下：
Future（期貨）
名稱 時間 成交價 買進 賣出 漲跌 總量
台指期0613:44:59 8592 8589 8594 △54 44302
Option（選擇權）：近月（200806），只取上下 5 檔。
Call（買權）
履約價 時間 成交價 買價 賣價 漲跌 總量
8200 13:44 439 421 440 △57 193
8300 13:44 347 346 349 △40 706
8400 13:44 272 270 277 △37 1996
8500 13:44 203 203 207 △30 5921
8600 13:44 150 147 150 △27 15892
8700 13:45 102 102 103 △17 20737
8800 13:44 67 67 68 △14 34073
8900 13:44 41.5 41.5 42 △11 26729
9000 13:44 25 25 25.5 △4.5 18397
9100 13:44 14.5 14 14.5 △1.5 9286
Put（賣權）
履約價 時間 成交價 買價 賣價 漲跌 總量
8200 13:44 37.5 37.5 38 ▽9.5 10579
8300 13:44 56 54 56 ▽13 18632
8400 13:44 80 79 81 ▽19 18037
8500 13:44 114 113 115 ▽23 16403
8600 13:44 155 155 157 ▽33 9294
8700 13:44 209 205 211 ▽39 4480
8800 13:44 271 270 271 ▽48 2888
8900 13:44 350 350 354 ▽50 1130
9000 13:44 435 430 437 ▽48 578
9100 13:44 525 520 535 ▽50 574
好。
現在我們把買進 8600 call 當作例子，
K = 8600
因為是買進call，所以取賣出報價，
P=150
最後交易日是 6/18 ，今天（6/4）不算的話，還有 15 天才到期，
t = 15/365 = 0.0411。
以當時期貨成交值，作為機率分布的中心價格，（注意：這是只是一個假設，見仁見智，因人而異。）
S = 8592。
根據成交價格，可以計算出隱含波動率。
我們取 call 和 put 的隱含波動率，加以平均，
用來表示預測的波動率，（注意：這是只是一個假設，見仁見智，因人而異。）
8600 Call 的隱含波動率為 0.217，
8600 Put 的隱含波動率為 0.222，所以
σ = (0.217+0.222) / 2 = 0.2195
有了上面這些數值（K,P,S,t,σ）之後，就可以計算出『期望值』：
買進call(P=150), E(R) = 2.87
同樣的，如果按照不同的情況，取不同的 P 值，
賣出call，取買進報價 P=147，
買進put ，取賣出報價 P=157，
賣出put ，取買進報價 P=155，
也可以分別計算出對應的期望值，
賣出call(P=147), E(R) = -5.87
買進put (P=157), E(R) = -4.63
賣出put (P=155), E(R) = 2.64
上面的所有選擇權報價，也同樣全都可以計算出相應的期望值，各位可以拿來練習看看。 ^_^
以上，就是期望值計算的方法與範例，僅供各位作為參考。
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